关于(Ax-b)二范数平方的求导

其实是一个基础问题

在CV的全景拼接中，遇到个一个向量微分的问题，也就是关于矩阵的最小二乘，虽然第一次做的时候茫然无措，但它实际上就是一个标量对矢量的求导。

现在要求这个式子：虽然分子看着吓人，但他其实就是个由向量中的各个元素组合成的多项式的值。对于二范数的平方，其值就等于：运用转置相关知识：之后矩阵乘法：注意到， , 因为它们最后的结果是一个数，数的转置就是他自己，所以这个等式成立。这样，等式就变成了：这时需要引出两条特别重要的结论： $①$

$②$

两个的证明其实不难，因为分子都是标量，本质就是把这个标量用中的分量表示出来，然后利用标量对矢量求导的定义就行了。我们把这两条规则代入：

由于与是无关的，所以求导为零。这样，就得到了：

由于是凸函数（证明海森矩阵半正定，一阶导数我们已经求出来了），所以极值点就是极小值点，也就是说令导数为零，最终得到的结果就是我们要找的结果：

由于两年前学的线代几乎全忘光了，也没有接触过向量函数的微分，所以第一次见到它的时候就有点懵逼。不过感谢一些大佬的帮忙，让我对此有点入门；同时也感谢amekui教我怎么用latex写公式，这篇博客是我第一次接触latex，全篇都是自己手打出来的，感觉好累T^T (hexo竟然不能害的我又改了一下)